今回は，とある作業の途中で出てきた次のような問題を考えます．問題1.正の整数 の倍数 （）の階乗の逆数の和 \begin{align*} S_{d} := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(nd)!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{d!} + \frac{1}{(2d)!} + \cdots \end{align*}を求め…

※記事タイトルの制約上，タイトルと本文とで微分演算子の書体が異なっています．インテグラルは大きくできるのにどうして……ちょっとした積分の計算問題を考えます． 以下は，ただひたすら計算をしているだけです．ちなみに個人的には の分数関数になった積分…

最近，関数解析の勉強をしているのですが，今回の記事ではその過程で理解に躓いた「可逆性」について整理しました．読んでいた本では「Banach 環の元を考えるとき，左可逆かつ右可逆なら両側可逆である」ということを使っていたのですが，Banach 環であるこ…

独立行の数式で総和記号$\sum$を使うとシグマが大きく表示される一方で，文中の数式ではこれが小さく表示されて，さらに添字が右上や右下にずれて表示される（図 1 の例文参照）． 図 1．総和記号の添字の位置（デフォルト）ここで，「\sum\limits」のように…

この記事では，位相線形空間 が Hausdorff 空間であることを の近傍によって特徴づける次の定理を紹介します．Hausdorff 性は「異なる 2 点を互いに交わらない開近傍で分離できる」ことを表します．この性質は，命題 2 で述べるように，閉近傍の共通部分を用…

一般に，有限群 G では，任意の部分群 H の位数について |H| は |G| の約数であるという関係が成立します．これは Lagrange の定理として知られています．では，逆に，有限群 G とその位数の正の約数 d を任意にとってきたとき，G には位数が d である部分群…

この記事ではBertrand-Chebyshevの定理と呼ばれる整数論の定理を紹介します。この記事で行う証明は高校数学の内容が分かっていれば十分に理解できるものになっています。 Bertrandの予想とChebyshevによる解決 証明の準備 証明 まとめ 参考文献 Bertrandの予…

こんにちは，ト部蛸焼です．はてなブログに投稿していないとなんだかサボっている感が出てしまう気がしたので，ここで別のサイトに書いた記事の紹介をします． Mathwillsという数学に関する記事を投稿するサイトで，2次体の整数環という内容で記事を投稿して…

仲間内で行ったゼミの資料を折角なのでこちらでも公開してしまいます． 本 (雪江整数1) はこちら www.nippyo.co.jp 補足資料はこちら*1 drive.google.com *1:内容は担当範囲であった雪江整数1の8.4節~8.6節に対応するものです．ただし，該当範囲の本文内容に…

今回は，Mathwillsというサイトに記事を書きましたので，そのリンクと，記事の内容を紹介します． Mathwills: www.mathwills.com 今回の記事: www.mathwills.com この記事では，「約元である」という関係について考察しました．通常，「がの約元である」とい…

今回は普段ブログで私が使っている数学の記法についてまとめます． 参考のために一部についてはLaTeXコマンドを掲載しています*1． 数と集合 数に関する記号 集合演算 具体的な集合 行列 行列 to スカラー 行列 to 行列 代数 群 環と体 確率 用語に関する記…

こんにちは．物工/計数 Advent Calendar 2019の2日目を担当する，計数工学科B4のト部蛸焼です．今日はShamirによって提案された秘密計算の手法をご紹介します． adventar.org 導入 秘密計算とは 状況設定と方針 準備 Lagrange補間 用語の定義 CEPSの導入 CEP…

最近，暗号分野の勉強をしているので，今回はそれに関する話です． 暗号 秘密鍵暗号の枠組み 公開鍵暗号の枠組み 安全性 参考文献 暗号現代では様々な人が様々な形で情報を伝えています．その中には，誰かだけに伝えるべき秘密性の高い内容が含まれることが…

今回は，整数に関する話です。最小原始根と呼ばれるものを考えます。 最小原始根 定義 原始根の求め方 最小原始根を計算するアルゴリズム 参考文献 最小原始根定義説明の都合上，群論の基本的な用語である「位数」を定義します。定義群の元について，ある正…

すぐそこに迫っている院試の過去問を解いていたら，反対称行列の固有値に関して気になる性質を知ったので記事にします*1。 導入 固有値 対称行列と反対称行列 対称行列の固有値 反対称行列の固有値 まとめ 導入 固有値 定義正方行列に対して，\begin{align} …

今回のテーマは「独立同一に指数分布に従う確率変数の和はガンマ分布に従う」という話です。これを2通りの方法で示します。なお，備忘録のつもりで書いているので，ここから常体に変わりますが悪しからず... 前提知識（定義，性質） 指数分布 ガンマ分布 畳…